Математический анализ Примеры

Найти локальный максимум и минимум f(x)=sin(x)+cos(x)
Этап 1
Найдем первую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2
Производная по равна .
Этап 1.3
Производная по равна .
Этап 2
Найдем вторую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Производная по равна .
Этап 2.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.2
Производная по равна .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Разделим каждый член уравнения на .
Этап 5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2
Перепишем это выражение.
Этап 6
Разделим дроби.
Этап 7
Переведем в .
Этап 8
Разделим на .
Этап 9
Разделим дроби.
Этап 10
Переведем в .
Этап 11
Разделим на .
Этап 12
Умножим на .
Этап 13
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 14
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Разделим каждый член на .
Этап 14.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 14.2.2
Разделим на .
Этап 14.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.1
Разделим на .
Этап 15
Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из тангенса.
Этап 16
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Точное значение : .
Этап 17
Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 18
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 18.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.2.1
Объединим и .
Этап 18.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 18.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.1
Перенесем влево от .
Этап 18.3.2
Добавим и .
Этап 19
Решение уравнения .
Этап 20
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 21
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1.1
Точное значение : .
Этап 21.1.2
Точное значение : .
Этап 21.2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 21.2.2
Вычтем из .
Этап 21.2.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 21.2.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.2.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 21.2.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 21.2.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 21.2.3.2.4
Разделим на .
Этап 22
 — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный максимум
Этап 23
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 23.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.2.1.1
Точное значение : .
Этап 23.2.1.2
Точное значение : .
Этап 23.2.2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.2.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 23.2.2.2
Добавим и .
Этап 23.2.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.2.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 23.2.2.3.2
Разделим на .
Этап 23.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 24
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 25
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.1.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.
Этап 25.1.2
Точное значение : .
Этап 25.1.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.1.3.1
Умножим на .
Этап 25.1.3.2
Умножим на .
Этап 25.1.4
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.
Этап 25.1.5
Точное значение : .
Этап 25.1.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.1.6.1
Умножим на .
Этап 25.1.6.2
Умножим на .
Этап 25.2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 25.2.2
Добавим и .
Этап 25.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 25.2.3.2
Разделим на .
Этап 26
 — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный минимум
Этап 27
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 27.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.2.1.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.
Этап 27.2.1.2
Точное значение : .
Этап 27.2.1.3
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.
Этап 27.2.1.4
Точное значение : .
Этап 27.2.2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.2.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 27.2.2.2
Вычтем из .
Этап 27.2.2.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.2.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 27.2.2.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.2.2.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 27.2.2.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 27.2.2.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 27.2.2.3.2.4
Разделим на .
Этап 27.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 28
Это локальные экстремумы .
 — локальный максимум
 — локальный минимум
Этап 29