Математический анализ Примеры

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Этап 1

Запишем $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2016$ является константой относительно $x$ , производная $2016$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x^{3} - 48 x^{2}$ и $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 48 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $2016$ является константой относительно $x$ , производная $2016$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $12 x^{3} - 48 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) - 48 x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $- 48 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4) = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4)$ .

$12 x^{2} (x - 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{2} (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$36 \cdot 0 - 96 \cdot 0$

Этап 10.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$0 - 96 \cdot 0$

Этап 10.1.3

Умножим $- 96$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $12 x^{3} - 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $12$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 \cdot 4$

Этап 11.2.2.1.4

Умножим $- 48$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 96 - 192$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $192$ из $- 96$ .

$f' (- 2) = - 288$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $- 288$ .

$- 288$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 4)$ в первую производную $12 x^{3} - 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $12$ на $8$ .

$f' (2) = 96 - 48 {(2)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 96 - 48 \cdot 4$

Этап 11.3.2.1.4

Умножим $- 48$ на $4$ .

$f' (2) = 96 - 192$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $192$ из $96$ .

$f' (2) = - 96$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $- 96$ .

$- 96$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(4, \infty)$ в первую производную $12 x^{3} - 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} - 48 {(6)}^{2}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 - 48 {(6)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.2

Умножим $12$ на $216$ .

$f' (6) = 2592 - 48 {(6)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 2592 - 48 \cdot 36$

Этап 11.4.2.1.4

Умножим $- 48$ на $36$ .

$f' (6) = 2592 - 1728$

Этап 11.4.2.2

Вычтем $1728$ из $2592$ .

$f' (6) = 864$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $864$ .

$864$

Этап 11.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 4$ , $x = 4$ — локальный минимум.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 12