Математический анализ Примеры

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Этап 1

Возведем $16$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ в виде $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 x^{4} + 4$ в виде $2^{2} (x^{4} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{4}) + 4 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

Этап 2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $65536$ .

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

Этап 3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4} + 1}$ в виде ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Поскольку $131072$ является константой относительно $x$ , производная $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 11

Перенесем ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $131072$ .

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 13

Вынесем множитель $2$ из $131072$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 15

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 17

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Этап 18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Этап 18.2

Объединим $4$ и $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Этап 18.3

Умножим $4$ на $65536$ .

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Этап 18.4

Объединим $\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$