Математический анализ Примеры

$\int (x + 1) (3 x - 2) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x - 2) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.4

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\int 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.5

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\int 3 \cdot x \cdot x - 2 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 (x^{1} x) - 2 x + 1 \cdot 3 x + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{1}) - 2 x + 1 \cdot 3 x + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{1 + 1} - 2 x + 1 \cdot 3 x + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 3 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 3 x + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\int 3 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 2 d x$

Этап 1.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\int 3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2 d x$

Этап 1.12

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$\int 3 x^{2} + x - 2 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{2} d x + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$