Математический анализ Примеры

$\int x^{5} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{5}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{6} x^{6}) - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$\ln (x) \frac{x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{6} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{6}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{6}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{5}}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{5} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \int x^{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ в виде $\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{6} x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{6}$ и $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} x^{6} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$