Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Этап 1

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{3 - u_{1}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 5.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$