Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл (x^2)/( квадратный корень из 16-x^2) по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.1.1.3
Умножим на .
Этап 2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.1.7
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2.2
Применим правило умножения к .
Этап 2.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.2.4
Разделим на .
Этап 7
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 8
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 10.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 11
Объединим и .
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Интеграл по имеет вид .
Этап 14
Упростим.
Этап 15
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Заменим все вхождения на .
Этап 15.2
Заменим все вхождения на .
Этап 15.3
Заменим все вхождения на .
Этап 16
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Объединим и .
Этап 16.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 16.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.3.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 16.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 16.3.3
Сократим общий множитель.
Этап 16.3.4
Перепишем это выражение.
Этап 16.4
Умножим на .
Этап 17
Изменим порядок членов.