Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Умножим $u^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Упростим.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$