Математический анализ Примеры

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

Этап 2

Пусть $u = 2 t + 5$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 t + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 t + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$