Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} | x | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.8

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 6.3.10

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Этап 6.3.11

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0$

Этап 6.3.12

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 6.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{2}$

Этап 6.3.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{2}$

Этап 6.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2}$

Этап 6.3.15.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 7