Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\cos (t)}{2}$ положительно.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5

Перепишем $- 1 \sin^{2} (t)$ в виде $- \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 14.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Этап 15.4

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Этап 15.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$