Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 4 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 4 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $4 \cos (t)$ положительно.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $4 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $16$ из $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $16 \cos^{2} (t)$ в виде ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $16$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$8 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 9.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 9.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Этап 9.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $- π$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 14.3.2

Добавим $π$ и $π$ .

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.3.1

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 14.3.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$8 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$8 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$8 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Этап 15.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$8 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Этап 15.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$8 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Этап 15.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$8 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Этап 15.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Этап 15.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$8 (π + \frac{0}{2})$

Этап 15.2

Разделим $0$ на $2$ .

$8 (π + 0)$

Этап 16

Добавим $π$ и $0$ .

$8 π$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 π$

Десятичная форма:

$25.13274122 \dots$

Этап 18