Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (x)$ и $d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Объединим $x$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 3.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\arctan (x) x$ в $1$ и в $0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 7.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $2$ и в $1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\arctan (1)$ на $1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.3

Умножим $0$ на $\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.4

Добавим $\arctan (1)$ и $0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 8.2

Объединим $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Этап 9.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 10

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Десятичная форма:

$0.43882457 \dots$