Математический анализ Примеры

\int_{0}^{1} arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = \arctan (x)$ и

$d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Пусть

$u = x^{2} + 1$ . Тогда

$d u = 2 x d x$ , следовательно

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя

$u$ и

$d$

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть

$u = x^{2} + 1$ . Найдем

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем

$x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная

$x^{2} + 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.1.5

Добавим

$2 x$ и

$0$ .

$2 x$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

$x$ в

$u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 3.3.2

Добавим

$0$ и

$1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

$x$ в

$u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 3.5.2

Добавим

$1$ и

$1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 3.6

Значения, найденные для

$u_{lower}$ и

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя

$u$ ,

$d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим

$\frac{1}{u}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.2

Перенесем

$2$ влево от

$u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 5

Поскольку

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

$u$ , вынесем

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Интеграл

$\frac{1}{u}$ по

$u$ имеет вид

$\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение

$\arctan (x) x$ в

$1$ и в

$0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 7.2

Найдем значение

$\ln (| u |)$ в

$2$ и в

$1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим

$\arctan (1)$ на

$1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.2

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.3

Умножим

$0$ на

$\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3.4

Добавим

$\arctan (1)$ и

$0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 8.2

Объединим

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ и

$\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$2$ равно

$2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Этап 9.3

Разделим

$2$ на

$1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 10

Точное значение

$\arctan (1)$ :

$\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Десятичная форма:

$0.43882457 \dots$