Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2 π} t^{2} \sin (2 t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t^{2}$ и $d v = \sin (2 t)$ .

$t^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (2 t)$ и $\frac{1}{2}$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (2 t)}{2})]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Этап 2.2

Объединим $t^{2}$ и $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 1}{1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Этап 4.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Этап 4.5

Умножим $\int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$ на $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = \cos (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t (\frac{1}{2} \sin (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t \frac{\sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Этап 6.2

Объединим $t$ и $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (2 t) d t)$

Этап 8

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Этап 8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 9

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Этап 12

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Этап 13

Объединим $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ и $\frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}$ в $2 π$ и в $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Этап 14.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $4 π$ и в $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$- \frac{{(2 (π))}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.2

Применим правило умножения к $2 (π)$ .

$- \frac{2^{2} π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (4 π)}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π^{2} \cos (4 π)$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 (1)} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 \cdot 1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 π^{2} \cos (4 π)}{1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.5.2.4

Разделим $2 π^{2} \cos (4 π)$ на $1$ .

$- (2 π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.8.1

Сократим общий множитель.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.8.2

Разделим $π \sin (4 π)$ на $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.11

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- 0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.14

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.15

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.16

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.16.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + 0) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.17

Добавим $0$ и $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.18

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Этап 14.3.19

Добавим $- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π)$ и $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Этап 15

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π^{2} \cos (0) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π^{2} \cdot 1 + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (0) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 π^{2} + π \cdot 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.6

Умножим $π$ на $0$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Этап 16.7

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Этап 16.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Этап 16.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Этап 16.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 16.11

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.11.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0 (\frac{1}{4})$

Этап 16.11.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0$

Этап 16.12

Добавим $- 2 π^{2}$ и $0$ .

$- 2 π^{2} + 0$

Этап 16.13

Добавим $- 2 π^{2}$ и $0$ .

$- 2 π^{2}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 π^{2}$

Десятичная форма:

$- 19.73920880 \dots$