Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 1}$ в виде ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Этап 1.5.2

Умножим ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.11.3

Перенесем ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

Этап 1.12

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.15

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Этап 1.16

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

Этап 1.17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

Этап 1.17.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.17.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.17.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

Этап 1.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.20

Чтобы записать ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.22

Умножим ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.22.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.22.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.22.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.22.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.23

Упростим ${(2 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.24

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Этап 1.25

Перепишем $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ в виде произведения.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Этап 1.26

Умножим $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

Этап 1.27

Умножим ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $2 x - 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.27.1

Умножим ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.27.1.1

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

Этап 1.27.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.27.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.27.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x - 1 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 3.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Этап 3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ : $y = 1$ .

$y = 1$

Этап 5