Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, - 1$ .

$1, - 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{3}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Этап 6.2.3

Разделим $1$ на $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 1)$ .

Возрастание в области $(- 1, 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $- \frac{3}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 1)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Этап 9