Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} + 3$ и $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.12.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.6

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Объединим противоположные члены в $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вычтем $16 x^{3}$ из $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2.2

Добавим $20 x$ и $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.3

Вычтем $24 x$ из $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Умножим ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $4 x^{2} + 5$ из ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $4 x^{2} + 5$ из ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $4 x^{2} + 5$ из $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $4 x^{2} + 5$ из $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $4 x^{2} + 5$ из ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.16

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.17

Вычтем $16 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.18

Объединим $- 4$ и $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.2.1

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.3

Вынесем множитель $4$ из $- 48 x^{2} + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.3.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.5

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.7

Перепишем $- (12 x^{2} - 5)$ в виде $- 1 (12 x^{2} - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 2.20.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 2.20.10

Умножим $\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.7

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.6

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.2

Объединим противоположные члены в $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.2.1

Вычтем $16 x^{3}$ из $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.2.2

Добавим $20 x$ и $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.3

Вычтем $24 x$ из $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

Этап 9.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{- 20}{125}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$\frac{5 (- 4)}{125}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{25}$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{25}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 11.2.1.3

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Этап 11.2.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = \frac{3}{5}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ .

$(0, \frac{3}{5})$ — локальный максимум

Этап 13