Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 - 2 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 - 2 x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (1 - 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 - 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2}{1 - 2 x} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2}{1 - 2 x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - 2 x}}$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - 2 x}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}$

Этап 4.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{1 - lim_{x \to 0} 2 x}}$

Этап 4.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 \frac{1}{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 2 \frac{1}{1 - 2 \cdot 0}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{1 + 0}}$

Этап 6.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 \cdot 1}$

Этап 6.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{- 2}$

Этап 6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e^{2}}$

Десятичная форма:

$0.13533528 \dots$