Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sin (2 \cdot 0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\sin (0)$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$