Математический анализ Примеры

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$81 x = x^{5}$

Этап 1.2

Решим $81 x = x^{5}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{5}$ из обеих частей уравнения.

$81 x - x^{5} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $81 x - x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 9$ и $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Этап 1.2.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Этап 1.2.2.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Этап 1.2.2.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Этап 1.2.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $9 + x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $9 + x^{2}$ к $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $9 + x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.5.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 1.2.5.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 1.2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 1.2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 1.2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 1.2.6

Приравняем $3 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $3 + x$ к $0$ .

$3 + x = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.7

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 1.2.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = {(0)}^{5}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{5}$

Этап 1.3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $3 i$ вместо $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Этап 1.4.2

Упростим ${(3 i)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Применим правило умножения к $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Этап 1.4.2.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$y = 243 (i^{4} i)$

Этап 1.4.2.4

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.4.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 1.4.2.4.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 1.4.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Этап 1.4.2.5

Умножим $i$ на $1$ .

$y = 243 i$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- 3 i$ вместо $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Этап 1.5.2

Упростим ${(- 3 i)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим правило умножения к $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Этап 1.5.2.2

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$y = - 243 (i^{4} i)$

Этап 1.5.2.4

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.4.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 1.5.2.4.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 1.5.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Этап 1.5.2.5

Умножим $i$ на $1$ .

$y = - 243 i$

Этап 1.6

Вычислим $y$ , когда $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Этап 1.6.2

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$y = - 243$

Этап 1.7

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Этап 1.7.2

Подставим $3$ вместо $x$ в $y = {(3)}^{5}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3^{5}$

Этап 1.7.2.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$y = 243$

Этап 1.8

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Этап 3.4

Поскольку $81$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $81$ из-под знака интеграла.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{6}}{6}$ в $3$ и в $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.5

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.6

Объединим $81$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.7

Умножим $81$ на $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.8

Возведем $3$ в степень $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.9

Сократим общий множитель $729$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Этап 3.9.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Этап 3.9.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.11.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Этап 3.9.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Этап 3.9.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Этап 3.9.2.3.13

Добавим $\frac{243}{2}$ и $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Этап 3.9.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{729 - 243}{2}$

Этап 3.9.2.3.15

Вычтем $243$ из $729$ .

$\frac{486}{2}$

Этап 3.9.2.3.16

Сократим общий множитель $486$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Этап 3.9.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Этап 3.9.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{243}{1}$

Этап 3.9.2.3.16.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$243$

Этап 4