Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x} + x}{x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2}}]$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{x^{2}}]$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}]$

Этап 3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Этап 4

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $1 + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 6.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 13

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 14

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 14.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{\frac{3 - 1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 14.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 14.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{x^{1}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 15

Упростим $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 16

Умножим $\frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Этап 17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим.

$\frac{2 (\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

Этап 17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{x}{2} + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

Этап 17.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{x}{2} + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

Этап 17.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

Этап 17.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - 2 ((1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{2 x^{3}}$

Этап 19

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 20

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 22.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 23

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Этап 24

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{x + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 25

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{x + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 26

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 27

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 27.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 27.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 27.4

Разделим $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{1}}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.1.3

Упростим $- 3 x^{1}$ .

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x}{2 x^{3}}$

Этап 28.2.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 2 x - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.3.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 3)}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.2.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (3))}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (3)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3))}{2 x^{3}}$

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3}}$

Этап 28.3.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3}}$

Этап 28.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 28.5

Умножим $x^{3}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.5.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Этап 28.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Этап 28.5.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 28.5.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 28.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 28.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.5.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Этап 28.5.6.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 28.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$