Математический анализ Примеры

$\frac{x + y}{x - y}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + y$ и $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x - y$ на $1$ .

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим противоположные члены в $x - y - x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$