Математический анализ Примеры

$s = t^{2} \ln (| t |)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (| t |))$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = | t |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| t |$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $| t |$ .

$t^{2} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{| t |}$ и $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.4

Производная $| t |$ по $t$ равна $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.5

Умножим $\frac{t^{2}}{| t |}$ на $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.6

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{2 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.7

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{t^{3}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.8

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.9

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{3}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (2 t)$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Изменим порядок членов.

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{t^{3}}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2.2

Сократим общий множитель $t^{3}$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3}$ .

$\frac{t^{2} t}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t}{1} + 2 t \ln (| t |)$

Этап 3.13.2.2.2.4

Разделим $t$ на $1$ .

$t + 2 t \ln (| t |)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = t + 2 t \ln (| t |)$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t + 2 t \ln (| t |)$