Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Тогда $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 1.1.4.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 1.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Этап 1.3.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Этап 1.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{3}$ , $d u_{3}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u_{3}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u_{3} |)$ в $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ и в $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ приблизительно равно $7.52439138$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Этап 7.1.2

Чтобы записать $e^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Этап 7.1.4

Умножим $e^{2}$ на $e^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Этап 7.1.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Этап 7.4

Умножим $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Десятичная форма:

$0.66250137 \dots$

Этап 9