Математический анализ Примеры

$x = \tan (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $\sec^{2} (y) y' = 1$ на $\sec^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $\sec^{2} (y) y' = 1$ на $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Этап 5.2.3.3

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Этап 5.2.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Этап 5.2.3.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$