Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^3e^(2x) по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Объединим и .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 6.3
Объединим и .
Этап 6.4
Объединим и .
Этап 6.5
Объединим и .
Этап 6.6
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.6.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.6.2
Разделим на .
Этап 7
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Объединим и .
Этап 8.2
Объединим и .
Этап 8.3
Объединим и .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 10.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 11
Объединим и .
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Умножим на .
Этап 13.2
Умножим на .
Этап 14
Интеграл по имеет вид .
Этап 15
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Перепишем в виде .
Этап 15.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 15.2.2
Объединим и .
Этап 15.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.2.4
Умножим на .
Этап 15.2.5
Объединим и .
Этап 15.2.6
Умножим на .
Этап 15.2.7
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.7.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.7.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.7.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.7.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.7.2.4
Разделим на .
Этап 16
Заменим все вхождения на .
Этап 17
Изменим порядок членов.