Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $\sqrt{5}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $\sqrt{5}$ из $\sqrt{5}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \sqrt{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{5}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x + 5}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 5}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5}}$

Этап 2.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 5}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{5}}{10}$

Десятичная форма:

$0.22360679 \dots$