Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} t^{\frac{2}{3}} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{\frac{2}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{0})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.5

Умножим $\frac{3}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.6

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.8.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.9

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$0 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.11

Вычтем $\frac{3}{4}$ из $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.12

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.13

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.14.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.14.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.16

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.17

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.17.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 (0)}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.18

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.3.19

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 5.2.3.20

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.20.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 5.2.3.20.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 5.2.3.21

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Этап 5.2.3.22

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{- 3}{5})$

Этап 5.2.3.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4} - (0 - - \frac{3}{5})$

Этап 5.2.3.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + 1 (\frac{3}{5}))$

Этап 5.2.3.25

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{5})$

Этап 5.2.3.26

Добавим $0$ и $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{5}$

Этап 5.2.3.27

Чтобы записать $- \frac{3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

Этап 5.2.3.28

Чтобы записать $- \frac{3}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3.29

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.29.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3.29.2

Умножим $4$ на $5$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3.29.3

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4}$

Этап 5.2.3.29.4

Умножим $5$ на $4$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20}$

Этап 5.2.3.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 \cdot 5 - 3 \cdot 4}{20}$

Этап 5.2.3.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.31.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{- 15 - 3 \cdot 4}{20}$

Этап 5.2.3.31.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{- 15 - 12}{20}$

Этап 5.2.3.31.3

Вычтем $12$ из $- 15$ .

$\frac{- 27}{20}$

Этап 5.2.3.32

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{20}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{27}{20}$

Десятичная форма:

$- 1.35$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{7}{20}$

Этап 7