Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{2} | x | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $2$ и в $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 6.3.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0 (\frac{1}{2})$

Этап 6.3.12

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0$

Этап 6.3.13

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Этап 6.3.14

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.3.15

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.17.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Этап 6.3.17.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{2}$

Этап 8