Математический анализ Примеры

$\int t e^{- 7 t} d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{- 7 t}$ .

$t (- \frac{1}{7} e^{- 7 t}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- 7 t}$ и $\frac{1}{7}$ .

$t (- \frac{e^{- 7 t}}{7}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Этап 2.2

Объединим $t$ и $\frac{e^{- 7 t}}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{7}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- \frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - (- \frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + 1 (\frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t$

Этап 5

Пусть $u = - 7 t$ . Тогда $d u = - 7 d t$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - 7 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 7 t]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 7 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 7$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} (- (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u$

Этап 9.2

Умножим $7$ на $7$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$ в виде $- \frac{1}{7} t e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{7} t e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t}{7} e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $e^{- 7 t}$ и $\frac{t}{7}$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 t$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{1}{49} e^{- 7 t} + C$

Этап 13

Объединим $e^{- 7 t}$ и $\frac{1}{49}$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{e^{- 7 t}}{49} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{7} e^{- 7 t} t - \frac{1}{49} e^{- 7 t} + C$