Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 6.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 6.2.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 6.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 6.2.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.7

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 6.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Этап 6.2.8.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Этап 6.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Этап 6.2.10

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Этап 6.2.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Этап 6.2.12

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3}{16}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{16}$

Десятичная форма:

$0.1875$

Этап 8