Математический анализ Примеры

\int {csc}^{3} (x) d x

$\int \csc^{3} (x) d x$

Этап 1

Применим формулу приведения.

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int csc (x) d x

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Этап 2

Интеграл

csc (x)

$\csc (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ в виде

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим

cot (x)

$\cot (x)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{cot (x)}{2} csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Этап 3.2.2

Объединим

csc (x)

$\csc (x)$ и

\frac{cot (x)}{2}

$\frac{\cot (x)}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Этап 3.2.3

Чтобы записать

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 3.2.4

Объединим

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 3.2.6

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 3.2.7

Объединим

\frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}

$\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ и

2

$2$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Этап 3.2.8

Перенесем

2

$2$ влево от

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{2 \cdot ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Этап 3.2.9

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Сократим общий множитель.

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{2 ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Этап 3.2.9.2

Разделим

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ на

1

$1$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

\frac{- csc (x) cot (x) + ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

\frac{- csc (x) cot (x) + ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} (- csc (x) cot (x) + ln (| csc (x) - cot (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$

\frac{1}{2} (- csc (x) cot (x) + ln (| csc (x) - cot (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$