Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.8

Умножим $4$ на $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

Этап 2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 14.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 14.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Этап 14.4

Найдем значение $- 3 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.5

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.6

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.7

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.13

Добавим $1$ и $1$ .

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.14

Объединим $12$ и $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.15

Умножим $12$ на $2$ .

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.16

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.16.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.16.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.16.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.16.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.17

Добавим $0$ и $8$ .

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.18

Единица в любой степени равна единице.

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.19

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.21

Вычтем $1$ из $1$ .

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.22

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.22.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.22.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.22.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.23

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.24

Добавим $8$ и $0$ .

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.25

Умножим $- 3$ на $1$ .

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

Этап 14.5.26

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 - 3 - 3$

Этап 14.5.27

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$8 - 6$

Этап 14.5.28

Вычтем $6$ из $8$ .

$2$

Этап 15