Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + y^{2}} d y$

Этап 1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y)]_{- 1}^{1}$ .

$\arctan (y)]_{- 1}^{1}$

Этап 3

Найдем значение $\arctan (y)$ в $1$ и в $- 1$ .

$\arctan (1) - \arctan (- 1)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \arctan (- 1)$

Этап 4.1.2

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - - \frac{π}{4}$

Этап 4.1.3

Умножим $- - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{π}{4} + 1 \frac{π}{4}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π}{4}$

Этап 4.3

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$

Этап 6