Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 9$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

Этап 2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 6

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 7.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $9$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Этап 7.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

Этап 9.2

Упростим.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$