Математический анализ Примеры

$4 \sqrt{x} + 18$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 \sqrt{x} + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.10

Объединим $4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.12

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 3.2

Добавим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$