Математический анализ Примеры

$e^{x} - e^{- x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{x} - - e^{- x}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x} + 1 e^{- x}$

Этап 3.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- x}$