Математический анализ Примеры

$\frac{2}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x + 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$2 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$