Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x = \sqrt{x}$

Этап 1.2

Решим $x = \sqrt{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{x} = x$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Упростим.

$x = x^{2}$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.4.2.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Этап 1.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{0}$

Этап 1.3.2

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{1}$

Этап 1.4.2

Упростим $\sqrt{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{1}$

Этап 1.4.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.8

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.9

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.8.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 3.8.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.8.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 3.8.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 3.8.2.3.14

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.2.3.15

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.2.3.16

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.8.2.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.17.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.8.2.3.17.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.8.2.3.17.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.2.3.17.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Этап 3.8.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Этап 3.8.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.19.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Этап 3.8.2.3.19.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 4