Математический анализ Примеры

Найти локальный максимум и минимум f(x)=( натуральный логарифм от x)/x
Этап 1
Найдем первую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2
Производная по равна .
Этап 1.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Объединим и .
Этап 1.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4
Умножим на .
Этап 2
Найдем вторую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.1.2
Умножим на .
Этап 2.2.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.2.4
Добавим и .
Этап 2.2.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3
Производная по равна .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Объединим и .
Этап 2.4.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.4.2.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.2.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 2.4.2.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 2.4.2.2.5
Разделим на .
Этап 2.4.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.4
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.4.1
Умножим на .
Этап 2.4.4.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.4.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.4.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.5
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.5.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.5.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.2
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.2.1.1
Умножим на .
Этап 2.6.2.1.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.6.2.1.2.2
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 2.6.2.2
Вычтем из .
Этап 2.6.3
Перепишем в виде .
Этап 2.6.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.2
Производная по равна .
Этап 4.1.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.1
Объединим и .
Этап 4.1.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.1.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.4
Умножим на .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.3.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 5.3.2.2.2
Разделим на .
Этап 5.3.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.3.1
Разделим на .
Этап 5.3.3
Чтобы решить относительно , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.
Этап 5.3.4
Перепишем в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если и  — положительные вещественные числа и , то эквивалентно .
Этап 5.3.5
Перепишем уравнение в виде .
Этап 6
Найдем значения, при которых производная не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 6.2.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.2.2.3
Плюс или минус равно .
Этап 6.3
Зададим аргумент в меньшим или равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.4
Уравнение не определено, если знаменатель равен , аргумент под знаком квадратного корня меньше или аргумент под знаком логарифма меньше или равен .
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести из степени.
Этап 9.2
Натуральный логарифм равен .
Этап 9.3
Умножим на .
Этап 9.4
Умножим на .
Этап 9.5
Вычтем из .
Этап 10
 — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный максимум
Этап 11
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1
Натуральный логарифм равен .
Этап 11.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 12
Это локальные экстремумы .
 — локальный максимум
Этап 13