Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ в виде $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 5.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{3}{2} \ln^{2} (x) + C$