Математический анализ Примеры

$\int_{64}^{8} 1 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Этап 1

Умножим $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ на $1$ .

$\int_{64}^{8} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2

Перепишем $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ в виде произведения.

$\int_{64}^{8} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (y)$ и $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Этап 4.2

Объединим $y^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Этап 4.4

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Этап 4.5

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Этап 4.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 4.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Этап 4.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - (2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 6.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ в $8$ и в $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

Этап 8.2

Найдем значение $2 y^{\frac{1}{2}}$ в $8$ и в $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\ln (8) (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (8) \cdot 2^{1 + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2 + 3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.6

Добавим $2$ и $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.7

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Сократим общий множитель.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.9.2

Перепишем это выражение.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{1}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.10

Найдем экспоненту.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.11

Умножим $2$ на $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) \cdot 16 - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.12

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.13

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.14

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.14.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.16

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.18

Добавим $2$ и $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.19

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.20

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 8.3.21

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.1

Сократим общий множитель.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 8.3.21.2

Перепишем это выражение.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{1})$

Этап 8.3.22

Найдем экспоненту.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8)$

Этап 8.3.23

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\ln (64)$ в виде $\ln (2^{6})$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (2^{6}) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Этап 9.2

Развернем $\ln (2^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 (6 \ln (2)) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Этап 9.3

Умножим $6$ на $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5

Умножим $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5.2

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Этап 9.5.6

Добавим $2$ и $5$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 16$

Этап 9.6

Умножим $- 2$ на $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

Десятичная форма:

$- 34.09274011 \dots$