Математический анализ Примеры

$\int 8 e^{4 y} d y$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int e^{4 y} d y$

Этап 2

Пусть $u = 4 y$ . Тогда $d u = 4 d y$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 y]$

Этап 2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $8$ .

$\frac{8}{4} \int e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Этап 7

Упростим.

$2 e^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $4 y$ .

$2 e^{4 y} + C$