Математический анализ Примеры

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Этап 1

Пусть $u = - t^{2}$ . Тогда $d u = - 2 t d t$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - t^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 t)$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 t$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{- u}}^{2}$ в виде $- u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u}$ в виде ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Этап 2.6

Объединим $\frac{u}{2}$ и $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Этап 8.2.2

Объединим $e^{- t^{2}}$ и $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Этап 8.4

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$