Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 3.2.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 3.2.8

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

Этап 3.2.9

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$

Этап 5