Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 5 - 4$

Этап 4.5

Вычтем $4$ из $5$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ в $5$ и в $4$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.11

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.14

Добавим $\frac{10}{3}$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16

Умножим $\frac{2}{5}$ на $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.17

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.18

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Этап 6.3.19

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.19.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Этап 6.3.19.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Этап 6.3.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Этап 6.3.21

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Этап 6.3.22

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Этап 6.3.23

Добавим $\frac{2}{5}$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Этап 6.3.24

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.25

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.26

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

Этап 6.3.27

Чтобы записать $\frac{10}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Этап 6.3.28

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.28.1

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Этап 6.3.28.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Этап 6.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

Этап 6.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.30.1

Умножим $10$ на $5$ .

$\frac{50 - 4}{15}$

Этап 6.3.30.2

Вычтем $4$ из $50$ .

$\frac{46}{15}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{46}{15}$

Десятичная форма:

$3.0\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{1}{15}$

Этап 8