Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 6 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $6 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $36$ из $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $36$ из $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $36$ из $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.4

Перепишем $36 \sec^{2} (t)$ в виде ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $6 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6 \sec (t)$ из $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int {(6 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \tan (t)$ .

$\int {(6 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $6 (\tan (t))$ .

$\int 6^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 2.2.2.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\int 216 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 3

Поскольку $216$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $216$ из-под знака интеграла.

$216 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$216 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 5

Вынесем $\tan^{2} (t)$ за скобки.

$216 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 7

Упростим.

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 8

Пусть $u = \sec (t)$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \sec (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Этап 8.1.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$216 \int - 1 + u^{2} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$216 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$216 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$216 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (t)$ .

$216 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$216 (- \sec (\arctan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{x}{6})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{x}{6})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{x}{6})$ . Следовательно, $\sec (\arctan (\frac{x}{6}))$ равно $\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$216 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$216 (- \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$216 (- \sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.6

Перепишем $\frac{36 + x^{2}}{36}$ в виде ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $36 + x^{2}$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.6.2

Вынесем полную степень $6^{2}$ из $36$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$216 (- (\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.8

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Этап 14.1.9

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.10

Применим правило умножения к $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.11

Возведем $6$ в степень $2$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.12

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.14

Перепишем $\frac{36 + x^{2}}{36}$ в виде ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.14.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $36 + x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.14.2

Вынесем полную степень $6^{2}$ из $36$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Этап 14.1.14.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})}}^{3}) + C$

Этап 14.1.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}})}^{3}) + C$

Этап 14.1.16

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6})}^{3}) + C$

Этап 14.1.17

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{6^{3}}) + C$

Этап 14.1.18

Объединим.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1 {\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Этап 14.1.19

Умножим ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ на $1$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Этап 14.1.20

Возведем $6$ в степень $3$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.21.1

Перепишем ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.2

Вынесем ${(36 + x^{2})}^{2}$ за скобки.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{2} (36 + x^{2})}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{(36 + x^{2}) \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.4

Применим свойство дистрибутивности.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.5

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.21.5.1

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $36 \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.5.2

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.21.5.3

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3 \cdot 216}) + C$

Этап 14.1.22

Умножим $3$ на $216$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Этап 14.2

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} \cdot \frac{108}{108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Этап 14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $648$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ на $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{6 \cdot 108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Этап 14.3.2

Умножим $6$ на $108$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{648} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648} + C$

Этап 14.5

Сократим общий множитель $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Вынесем множитель $216$ из $648$ .

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 (3)} + C$

Этап 14.5.2

Сократим общий множитель.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 \cdot 3} + C$

Этап 14.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.6.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{36 + x^{2}}$ из $\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.6.2

Умножим $- 1$ на $108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.6.3

Добавим $- 108$ и $36$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 72 + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.7

Перепишем $- 72$ в виде $- 1 (72)$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) + x^{2})}{3} + C$

Этап 14.8

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Этап 14.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (72) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72 - x^{2}))}{3} + C$

Этап 14.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (72 - x^{2})}{3} + C$