Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Этап 1.2

Решим $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x - x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 2 (2) - 4$

Этап 1.3.2

Упростим $2 (2) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 4 - 4$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Этап 1.4.2

Упростим $2 (- 2) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$y = - 8$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Этап 2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Этап 4.3.2

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Этап 4.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Этап 4.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Этап 4.9.2

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.5

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.7

Добавим $8$ и $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.8

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Этап 4.9.3.9

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Этап 4.9.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Этап 4.9.3.11

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.9.3.12

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.14.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Этап 4.9.3.14.2

Добавим $- 16$ и $48$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 5