Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.14644660 \dots$