Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (w)$ и $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 2.2

Объединим $\ln (w)$ и $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $w^{3}$ и $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $w^{3}$ и $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $w$ из $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $w^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

Этап 5

По правилу степени интеграл $w^{2}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{3} w^{3}$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.2

Перенесем $343$ влево от $\ln (7)$ .

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.4

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.5

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 6.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

Этап 6.3.10

Вычтем $1$ из $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

Этап 6.3.11

Сократим общий множитель $342$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $342$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

Этап 6.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

Этап 6.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

Этап 6.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

Этап 6.3.11.2.4

Разделим $114$ на $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

Этап 6.3.12

Умножим $114$ на $- 1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

Этап 6.3.13

Объединим $- 114$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

Этап 6.3.14

Сократим общий множитель $- 114$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $- 114$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

Этап 6.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

Этап 6.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

Этап 6.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

Этап 6.3.14.2.4

Разделим $- 38$ на $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

Этап 7.3

Добавим $343 \ln (7)$ и $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Десятичная форма:

$184.48239370 \dots$